Готовые ???????? ??????

Курсовая работа  Решение кубических уравнений на языке программирования Borland Delphi

Содержание:

Введение 3
1. Теоретическая часть 4
1.1 Кубическое уравнение 4
1.2. Формула Кардано 5
2. Практическая реализация 8
2.1 Алгоритм для решения кубического уравнения методом Виета-Кардано 8
2.1. Проектирование интерфейса 9
2.3. Листинг программы 10
Заключение 25
Литература 26



Введение

Куби́ческое уравне́ние — полиномиальное уравнение третьей степени, канонический вид которого

Borland Delphi — интегрированная среда разработки ПО для Microsoft Windows на языке Delphi (ранее носившем название Object Pascal), созданная первоначально фирмой Borland и на данный момент принадлежащая и разрабатываемая Embarcadero Technologies. Embarcadero Delphi является частью пакета Embarcadero RAD Studio и поставляется в трёх редакциях: Professional, Enterprise и Architect.
Тема данной курсовой работы Решение кубических уравнений на языке программирования Borland Delphi.
Цель работы – изучить принципы языка программирования Borland Delphi при решении кубических уравнений.
Объект исследования язык программирования Borland Delphi.
Предмет исследования решение кубического уравнения средствами языка программирования Borland Delphi.
Для разработки приложения используются среда разработки Borland Delphi.



1. Теоретическая часть

1.1 Кубическое уравнение
Куби́ческое уравне́ние — полиномиальное уравнение третьей степени, канонический вид которого

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.
Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду:

поделив его на a и подставив в него замену При этом коэффициенты будут равны:


Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.
Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).
Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпывается тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта
Δ = − 4b3d + b2c2 − 4ac3 + 18abcd − 27a2d2.
Итак, возможны только три случая:
• Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.
• Если Δ < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
• Если Δ = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант так же равен нулю.
Корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующим образом[1]:





1.2. Формула Кардано
Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.
Любое кубическое уравнение общего вида

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами p и q:


при помощи подходящей замены переменной вида .
Подставляя три последние формулы в соответствующее кубическое уравнение, находим эту замену:

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:
• Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
• Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
• Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:


где


Дискриминант многочлена y3 + py + q при этом равен Δ = − 108Q.
Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений α необходимо брать такое β, для которого выполняется условие αβ = − p / 3 (такое значение β всегда существует).
Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения α,β.

2. Практическая реализация

2.1 Алгоритм для решения кубического
уравнения методом Виета-Кардано

Здесь представлен алгоритм для решения кубического уравнения методом Виета-Кардано. Программа написана для случая действительных коэффициентов (корни могут быть комплексными).
Кубическое уравнение записывается в виде:
x3+a*x2+b*x+c=0.
Для нахождения его корней, в случае действительных коэффициентов, вначале вычисляются:
Q=(a2-3b)/9, R=(2a3-9ab+27c)/54.
Далее, если R2=Q3, то действительных корней один (общий случай) или два (вырожденные случаи). Кроме действительного корня, имеется два комплексно-сопряженных. Для их нахождения вычисляются (формула Кардано):
A=-sign(R)[|R|+sqrt(R2-Q3)]1/3,
B=Q/A при A!=0 или B=0 при A=0.
Действительный корень будет:
x1=(A+B)-a/3.
Комплексно-сопряженные корни:
x2,3=-(A+B)/2-a/3 + i*sqrt(3)*(A-B)/2

В том случае, когда A=B, то комплексно-сопряженные корни вырождаются в действительный:
x2=-A-a/3.
Формулы Кардано и Виета требуют применения специальных функций, и в том случае, когда требуется провести большую серию вычислений корней кубического уравнения с не слишком сильно меняющимися коэффициентами, более быстрым алгоритмом является использование метода Ньютона или других итерационных методов (с нахождением начального приближения по формулам Кардано-Виета).

2.1. Проектирование интерфейса







2.3. Листинг программы

procedure Kardano;
var
A,B,C,D: real; {коэффициенты кубического уравнения A*x^3+B*x^2+C*x+D=0}
p, q: real; {коэффициенты кубического уравнения y^3+p*y+q=0, x=y-B/(3*A)}
S: real; {Дискриминант кубического уравнения S=q*q/4+p*p*p/27}
F: real; {аргумент комплексного корня}
Re: real; {действительная часть комплексно-сопряжённых корней}
Im: real; {мнимая часть комплексно-сопряжённых корней}
y1: real; {y1=(-q/2+Sqrt(q*q/4+p*p*p/27))^(1/3)}
y2: real; {y1=(-q/2-Sqrt(q*q/4+p*p*p/27))^(1/3)}
x1,x2,x3: real;{точные корни уравнения A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 }
begin

К работе прилагается программа с исходным кодом.
К работе прилагается все исходники.
К работе прилагается все необходимое для сдачи.
К работе прилагается рабочая программа на языке программирования.