Готовые ???????? ??????

Курсовая работа  Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Содержание:

Введение 3
Глава І. Системы линейных дифференциальных уравнений 5
1.1. Общий вид линейной системы дифференциальных уравнений. Однородная и неоднородная системы с постоянными коэффициентами 5
1.2. Основные свойства линейной системы дифференциальных уравнений 8
1.3. Основные свойства решений однородной линейной системы 20
Глава ІІ. Линейные системы 23
2.1. Однородные и неоднородные линейные системы 23
2.2. Фундаментальная система решений и определитель Вронского 23
2.3. Построение общего решения однородной линейной системы по фундамен-тальной системе решений 25
Глава ІІІ. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера 26
3.1. Метод Эйлера. Характеристическое уравнение. Случай различных действительных корней 26
3.2. Случай различных корней характеристического уравнения, среди которых имеются комплексные 27
3.3. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения 28
Заключение 30
Список использованной литературы








Введение
Линейная система имеет вид (1)
Если при всех рассматриваемых значениях все равны нулю, то эта система называется однородной. В противном случае она называется неоднородной.
Предполагаем, что функции и определены и непрерывны в интервале . Тогда система (1) имеет единственное решение …,
определенное во всем интервале и удовлетворяющее на¬чальным условиям
…, при ,
причем начальные данные можно задавать со¬вершенно произвольно, a нужно брать из интервала .
Всякое решение линейной системы является частным ре¬шением, так что особых решений она не имеет .
Интегрирование неоднородной линейной системы (1) приво¬дится к интегрированию однородной системы
(2)
Однородная линейная система всегда имеет нулевое решение . Оно удовлетворяет нулевым начальным условиям
…, при ,
Других решений, удовлетворяющих нулевым начальным усло¬виям, нет.
Для построения общего решения однородной линейной систе¬мы (2) достаточно знать линейно-независимых в интервале частных решений:
(3)

т. е. таких решений, для которых тождества
,
где - постоянные числа, могут выполняться только при . Такая система решений назы¬вается фундаментальной. Чтобы система решений была фунда¬ментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского

был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала .
При сделанном предположении относительно непрерывности функций существует бесчисленное мно¬жество фундаментальных систем. Фундаментальная система (3) называется нормированной в точке , если решения, состав¬ляющие ее, удовлетворяют следующим начальным условиям:
при

Если известна фундаментальная система решений (3), то их линейная комбинация (4) где - произвольные постоянные, представляет собой общее решение однородной линейной системы (2) в области , …, (5)
Все решения однородной системы (2) содержатся в фор¬муле (4)

Глава І. Системы линейных дифференциальных уравнений.
1.1. Общий вид линейной системы дифференциальных уравнений. Однородная и неоднородная системы с постоянными коэффициентами.
Система линейных однородных уравнений:

где все постоянны, носит название линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Она линейна и однородна относительно неизвестных функций и их производных. К этой системе можно применить общий метод - исключения всех неизвестных функ-ций, кроме одной, для определения которой, как нетрудно проверить, мы получим линейное однородное уравнение с по¬стоянными коэффициентами, и, следовательно, решение можно будет искать в виде . Можно, однако, и непосредственно искать решение этой системы в виде
, ,…,
и подобрать постоянные и так, чтобы все уравнения системы обратились в тождества.
Действительно, подставляя в исходную систему, получим

или, сокращая на и перенося все члены в одну часть равенства, будем иметь
(1)
Мы получили по отношению к неизвестным систему линейных однородных уравнений, следовательно, если определитель системы отличен от нуля, то система имеет только нулевые решения:

Однако нас интересуют не нулевые решения, так как част¬ное решение

является очевидным решением всякой однородной линейной системы дифференциальных уравнений.
Для получения ненулевых решений необходимо выбрать так, чтобы определитель системы обратился в нуль:

Это уравнение называется характеристическим уравне¬нием для исходной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение является уравнением степени относительно и, следовательно, имеет корней: . Каждому корню соответствует решение:
…,
где определяются из системы (1).
Пример 1. ,
Ищем решение в виде , ,

Для первого корня получаем уравнение , а второе уравнение системы (1) является его следствием, так как опреде¬литель системы равен нулю. Итак,
остаётся произвольным.
Для второго корня получаем ;
Следовательно, второе решение:
Сумма этих двух решений является общим решением:

Где и - произвольные постоянные.
Замечание. Путём исключения одной неизвестной функции мы пришли бы к цели быстрее:

,
Итак, для каждого корня из системы (1) определяются причём, так как определитель системы равен нулю, то, по крайней мере, одно из остаётся произ¬вольным; таким образом, если все корни характеристиче¬ского уравнения различны, то мы получим решений, ко-торые, как нетрудно проверить, линейно независимы, и их линейная комбинация будет являться общим решением.
Если же среди корней характеристического уравнения есть кратные, то так же, как и в случае одного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, решение следует искать в виде где - кратность корня характеристического уравнения, но только, в отличие от случая одного уравнения n-го по¬рядка, степень многочлена может оказаться и ниже чем , что обнаружится при вычислении коэффициентов ; не исключена возможность, что некото¬рые из них, в том числе и при высших степенях, окажутся равными нулю.
Пример 2.
Имеем

Следовательно, решение, соответствующее первому корню имеет вид:
Где определяются из системы (1), а для кратного корня решение надо искать в виде:

Если система линейных однородных уравнений с постоян¬ными коэффициентами содержит уравнения порядка выше 1-го, то можно, вводя новые неизвестные функции, свести систему к большему числу уравнений 1-го порядка или так же, как для системы уравнений 1-го порядка, искать решения в виде показательных функций.
1.2. Основные свойства линейной системы дифференциальных уравнений.
Система n линейных уравнений первого порядка, записанная, в нормальной форме, имеет вид
(1.1)
или в векторной форме
(1.2)
где X есть n-мерный вектор с координатами …,
есть n-мерный вектор с координатами …,
которые удобно в дальнейшем рассматривать как одностолбцовые матрицы:

,
Согласно правилу умножения матриц строки первого множителя должны умножаться на столбец второго, следовательно,
, .
Равенство матриц означает равенство всех их элементов, следова¬тельно, одно матричное уравнение (1.2) или

эквивалентно системе (1.1).
Если все функции и в (1.1) непрерывны на отрезке то в достаточно малой окрестности каждой точки где выполнены условия теоремы существования и единственности и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1.1).
Действительно, в рассматриваемом случае правые части системы (1.1) непрерывны, и их частные производные по любому ограничены, так как эти частные производные равны непрерывным на отрезке коэффициентам .
Определим линейный оператор L равенством
,
тогда уравнение (1.2) еще короче можно записать в виде
(1.3)
Если все или, что то же самое, матрица , то система (1.1) называется линейной однородной. В краткой записи линейная однородная система имеет вид
(1.4)
Оператор L обладает следующими двумя свойствами:
1)
где с — произвольная постоянная.
2)
Действительно,

.
Следствием свойств 1) и 2) является

где - произвольные постоянные.
Теорема 1. Если является решением линейной однород¬ной системы , то где - произвольная постоян¬ная, является решением той же системы.
Доказательство. Дано . надо доказать, что . Пользуясь свойством 1) оператора , получим

Теорема 1.2. Сумма двух решений и одно¬родной линейной системы уравнений является решением той же системы.
Доказательство. Дано и .
Требуется доказать, что .
Пользуясь свойством 2) оператора , получим

Следствие теорем 1 и 2 . Линейная комбинация с произвольны-ми постоянными коэффициентами решений линейной однородной системы является решением той же системы.
Теорема 3. Если

Авторская работа.