Готовые ????????? ??????

Диплом  Метод неопределенных множителей Лагранжа

Содержание:

Введение 4
1.Метод неопределенных множителей Лагранжа 6
1.1.Суть метода 7
1.2. Смысл множителей Лагранжа 8
1.3. Пример использования множителей Лагранжа 11
1.4. Приложение метода множителей Лагранжа к механике 15
1.4.1. Градиент 15
1.4.2. Условный экстремум 17
1.4.3. Приложение к механике 18
2. Методы оптимизации статистических систем 21
2.1. Методы и задачи оптимизации 21
2.1.1. Обозначения 21
2.1.2. Задача наилучшего приближения 22
2.1.3. Задача Штейнера 23
2.1.4. Задача о рационе 23
2.1.5. Транспортная задача 24
2.1.6. Задачи о распределении ресурсов 25
2.1.7. О классификации задач оптимизации 26
2.2. Задача безусловной оптимизации 28
2.2.1. Определения 28
2.2.2. О линейных операторах в R^m 29
2.2.3. О дифференцируемости функций на R^m 30
2.2.4. Необходимое условие локального экстремума 33
2.2.5. Теорема о локальном минимуме (необходимые
и достаточные условия второго порядка) 35
2.2.6. Замечания о существовании решений 37
2.2.7. Замечания о единственности решений 38
2.2.8. Выпуклые функции на R^m 39
2.2.9. Теорема о разрешимости для сильно выпуклой функции 42
2.2.10. Теорема единственности для строго выпуклой функции 43
3. Методы оптимизации 44
3.1. Общая задача нелинейного программирования 44
3.1.1. Постановка задачи 44
3.1.2. Теорема (обобщенное правило множителей Лагранжа) 46
3.1.3. Регулярный случай 48
3.1.4. Теорема (обобщенное правило множителей Лагранжа
в регулярном случае) 50
3.1.5. Достаточные условия, существование, единственость 52
3.1.6. Об ограничениях-равенствах 53
3.1.7. Еще один достаточный признак условного минимума 54
3.1.8. Методы возможных направлений 55
3.1.9. Методы проекции градиента 58
3.1.10. Методы линеаризации 59
3.1.11. Методы штрафов 60
3.2. Постановка и решение классической задачи
оптимизации рынка недвижимости методом
неопределенных множителей Лагранжа 63
Заключение 71
Список литературы 72


Введение

Важное место в математическом аппарате различных дисциплин занимают оптимальные задачи – задачи, в которых отыскивается наилучшее в некотором смысле решение. Многие задачи оптимизации формулируются следующим образом. Решение, которое должен принять субъект, описывается набором чисел (х1, х2 ,…,хn) (или точкой Х=( х1, х2 ,…,хn) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения определяются значениями функция f(X) = f(х1, х2 ,…,хn) – целевой функции. Наилучшее решение – это такая точка Х, в которой функция f(X) принимает наибольшее значение. Зада-ча нахождения такой точки описывается следующим образом:
f(X) ® max. (1)
Если функция f(X) характеризует минимальные стороны решения, то ищется такая точка Х, в которой значение f(X) минимально:
f(X) ® min. (2)
Минимум и максимум обычно объединяются понятием экстремума. Для определенности мы будем говорить только о задачах максимизации. По-иск минимума не требует специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на - f(X) всегда можно «превратить недостатки в досто-инства» и свести минимизацию к максимизации.
Из каких вариантов может быть выбран наилучший? Иными словами, среди каких точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким элементом оптимизационной задачи, как множество допусти-мых решений. В некоторых задачах допустимыми являются любые комбина-ции чисел (х1, х2 ,…,хn) то есть множество допустимых решений – это все рассматриваемое пространство.
В других задачах следует принимать во внимание различные ограниче-ния, означающие, что не все точки пространства доступны при выборе. В со-держательных постановках задач это может быть связано, например, с огра-ниченностью располагаемого количества ресурсов.
Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида
g(X) = 0
или неравенства
g(X) і 0.
Если условия имеют несколько другую форму, скажем, g1(Х) = g2(X) или g(X) Ј A, то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функ-ции и константы в одну из частей равенства или неравенства.
Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо огра-ничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, необходимое условие безусловного экс-тремума функции состоит в равенстве нулю всех ее частных производных:
. (3)

Если заданы ограничения, то экстремум ищем только среди точек, ко-торые удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки являются допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.
Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:
f(X) ® max
при условиях (4)
g1(Х) = 0; g2(Х) = 0, …, g2(Х) = 0,
то все ограничения которой представляют собой равенства.
Если при этом целевая функция и все ограничивающие функции непре-рывно дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Ла-гранжа.

Диплом  Метод неопределенных множителей Лагранжа